Articolo postato il: 01/10/2014
Autore: Enrico Engelmann
Aggiungiamo un secondo capito all'analisi del rapporto esistente considerando cosa succede aggiungendo uno o più semafori. Questo articolo rappresenta la seconda puntata della serie iniziata con l'articolo Ridurre la velocità per ridurre il traffico è un'assurdità, in cui si dimostran che più la velocità dei veicoli è bassa, più aumenta il numero dei veicoli contemporaneamente presenti sul percorso.
Tale analisi del precedente articolo descrive il caso più semplice che si possa concepire: un tragitto dritto e uniforme, con capacità infinita (dato che i veicoli non interagiscono fra loro, non occupano spazio, ma sono solo presenti).
Proviamo dunque ad aggiungere elementi in grado di rendere il modello via via più vicino al caso reale.
Proviamo in primis ad immaginare lo stesso tragitto di sopra, con auto sempre puntiformi non interagenti, in cui sia presente però un semaforo.
Assumiamo che esso sia sul verde per la frazione di tempo pV e sul rosso per la frazione pR = 1 - pV. Includendo nel rosso anche il giallo (dato che tale semplificazione non altera il senso, dato che comunque col giallo ci si dovrebbe fermare uguale) pR e pV possono venire considerate le probabilità di trovare rosso o verde, dato che tertium non datur.
Assumiamo poi che il semaforo rimanga rosso ogni volta per un temp tR.
In tal caso un veicolo che transita sul percorso che abbiamo immaginato, avrà la probabilità pR di incontrare il rosso. E dato che non c'è nessuna ragione per cui arrivi al semaforo in una particolare parte del periodo in cui esso è rosso, in media il tempo che dovrà rimanere fermo ad aspettare il verde sarà 0,5 * tR.
Il tempo TR, quindi, che in media i veicoli impiegheranno in più a causa del semaforo sarà il prodotto della probabilità di trovarlo rosso per il tempo medio di attesa al semaforo:
TR = 0,5 * pR * tR
Quindi, riassumendo, la presenza di un semaforo porta ad avere per il numero medio di auto presenti contemporaneamente sul tragitto
In presenza di più semafori non sincronizzati (come di regola nelle città italiane) bisognerà considerare la somma dei tempi persi a tutti i vari semafori, e l'equazione precedente diventerà
considerando che per t vale
si ha
Il risultato è ragionevole: il numero delle auto tende ad aumentare con la probabilità di trovare rosso, con il tempo che i semafori rimangono rossi e quanto più è grande il numero dei semafori, tanto più il tempo di attesa presso di essi diventa proporzionalmente importante, rispetto alla velocità nei tratti fra i semafori, nel determinare il numero di auto presenti.
Da notare che per ridurre i tempi di attesa medi conviene fare in modo che l'alternanza fra rosso e verde sia il più possibile rapida, a parità di frazione di rosso e di verde sul totale del tempo.
Proviamo ora a considerare un diverso tipo di miglioramento del modello, assumendo i veicoli tutti uguali, ma percorrenti le stesse corsie, corsie. In altre parole proviamo a considerare la formazione di code ai semafori (uno solo, per ora).
Per comodità consideriamo per prima cosa il caso di un semaforo posto esattamente alla fine del percorso. Poco sensato a livello pratico (ma non del tutto, ad esempio si potrebbe pensare ad semaforo posto all'entrata di un parcheggio da raggiungere attraverso il percorso in questione).
Per analizzare meglio tale situazione approntiamo un nuovo grafico. In esso l'asse orizzontale raffigura il tempo, con il periodo 0 – T corrispondente al periodo durante il quale hanno luogo i trasferimenti dei veicoli dal punto di partenza al punto di arrivo alla distanza D. Per semplicità considereremo solo il percorso di andata. Sempre per semplicità assumiamo che la velocità sia uniforme (non consideriamo quindi accellerazioni e frenate) e pari alla velocità massima consentita. La velocità corrisponde evidentemente alla pendenza delle frecce.
Le frecce rosse corrispondono al caso in cui i veicoli si spostano ad una velocità v'. Quelle nere al caso in cui, invece, le velocità procedono ad una velocità v = 0,5v
Si nota che, ovviamente, più la velocità è bassa (ovvero più le frecce sono inclinate) più le frecce tendono ad essere sovrapposte, ovvero più è alto il numero delle auto contemporaneamente presenti sul tragitto, cosa in accordo con quanto spiegato in precedenza.
In questo caso, però, ci interessa il numero di auto che si accumulano in un dato punto in
un dato momento, nella fattispecie al semaforo quando esso è rosso.
Per poter ottenere la stima che ci serve, osserviamo che un auto che deve arrivare al punto D al più tardi al tempo T dovrà partire tanto prima, quanto più bassa è la sua velocità. In particolare per la velocità v, il tempo massimo per poter partire è Tstart, con
Per cui, per v' < v sarà T'start < TstartSi noti ora la scala colorata sotto all'asse orizzontale del grafico. Essa rappresenta l'alternanza di rosso e verde del semaforo. Essa è posta in modo che i veicoli che partono durante i periodi corrispondenti a zone rosse troveranno all'arrivo il semaforo rosso, quelli che partono in momenti all'interno di zone verdi lo troveranno invece verde. In effetti, passando da una velocità all'altra, la scala potrebbe dover venire traslata orizzontalmente, ma la cosa è del tutto irrilevante ai fini del risultato che ci interessa.
Per sapere quanti veicoli in media arriveranno ad accumularsi in coda al semaforo quando esso è rosso, consideriamo un particolare periodo di rosso e consideriamo che probabilità ha un veicolo, partendo in un momento a caso, di trovarsi nel corrispondente periodo rosso. Tale probabilità pirosso è data da
quella di non trovarsi in tale periodo di rosso da 1 - pirosso.
Siamo quindi nuovamente nel caso di una distribuzione binomiale come nel caso precedente. Il numero medio di veicoli che si accumuleranno in coda al rosso (nrosso) non sarà perciò niente altro che il numero medio di veicoli che partiranno durante il periodo rosso preso in esame. Per le proprietà della distribuzione binomiale, sarà perciò
Facendo il grafico si vede che il numero delle auto incolonnate aumenta rapidamente quando la velocità scende sotto una certa soglia. Tale soglia è irrealistica quando la lunghezza complessiva del percorso è tale da rendere irrilevante il tempo di percorrenza rispetto al tempo durante il quale possono avvenire gli spostamenti. Può però non essere irrilevante quando il tempo T è piccolo (come il caso dei pendolari che devono tutti arrivare al lavoro in un arco di tempo ristretto e che abitano lontano).
Da notare che l'analisi proposta può venire anche estesa ad un più generale caso di un semaforo posto da qualche parte sul percorso, dato che, ovunque esso si trovi, sarà possibile posizionare opportunamente, lungo l'asse del tempo, la scala rosso verde che mette in relazione il momento della partenza con il colore del semaforo quando esso verrà raggiunto.
L'analisi qui presentata rimane comunque una forte semplificazione rispetto alla realtà. Non prende in considerazione il tempo perso per accellerare e frenare, il fatto che il tempo di reazione di chi guida non è nullo e perciò bisogna considerare anche il tempo che va perso la la ripartenza di un veicolo e quello che lo segue, il fatto che la presenza della cosa riduce la lunghezza del percorso fino al semaforo, e così via.
Enormemente più complicato è poi il caso di più semafori in serie. In tal caso la casualità non può più essere assunta, dato che trovare rosso o il verde ad un semaforo influenza la probabilità di trovare rosso o verde al successivo e la probabilità di avere un numero più o meno alto di veicoli immediatamente prima e dopo.
In ogni caso è certo che più le velocità di percorrenza sono basse, più il numero di auto in coda ad un semaforo sarà alto. Di poco o di tanto dipende dalle condizioni al contorno.
Anche sotto questo aspetto si verifica perciò che le velocità medie andrebbero tenute le più alte possibile, volendo ridurre traffico e congestione.
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